深根
第四、第五、第六、第七和第八根
计算联盟设有五个涵盖深层根基的复杂类别。所有问题均遵循以下格式：
x^(1/y) × 10^z,
其中y在4 到 8 之间，z在0 到 3 之间。乘以10^z的作用是增加最终答案中需要计算的有效数字位数。
通常：
主要深层根（第五和第七根）通常通过直接估算和精炼技术来处理。
复合深层根常可通过重复更简单的根来实现：
四次根：平方根两次
六次根：平方根 + 立方根（顺序不限）
第八根：平方根的三倍
分块规则（非常重要）
无论哪种情况，将x从右向左分割为y位数组块并依次处理都很有帮助。
（若x足够小，此步骤可省略。）
块的数量对应于答案整数部分的位数。
这是一种实用的“位值法”，可在进行详细计算前预测根的大小。
最后：对数也可用于计算深根。该技术将在十进制/非标准幂与根号章节中介绍。
第四根源
第四根源——示例 #1（简单难度）
550859^(1/4)
Because 10^4 < 550859 < 100^4, the answer will be two digits.
如果我们将这个数字从右向左分成4位一组的块，得到：
55 | 0859
现在我们估计第一个数据块：
2^4 = 16 and 3^4 = 81, so 2^4 < 55 < 3^4
⇒ the answer is between 20 and 30.
我们可以进一步缩小范围：
(5/2)^4 = 2.5^4 = 39.0625, and 39 < 55 < 81
⇒ the answer is between 25 and 30.
在计算联盟的场景中（最多可尝试五次），仅凭这个估算值通常就足以快速得出正确答案。
直接法（两次开平方）
使用恒等式x^(y·z) = (x^y)^z。这里，1/4 = (1/2)(1/2)，因此我们需要开两次平方根：
550859¹/² ≈742
742^(1/2) ≈27.24
即使不计算第一个平方根的小数位，我们也能得到精确到约四位有效数字的正确答案。事实上，即使将第一个平方根四舍五入到两位有效数字（例如740），最终结果依然正确。
第四根源——示例 #2（高级水平）
25628856193368^(1/4)
这是一个14位数字，因此我们将它分成4位一组：
25 | 6288 | 5619 | 3368
从第一段（25）中，我们已经可以看出：
最终答案需要保留四个有效数字。
The first digit of the answer is 2, since 2^4 = 16 < 25 < 3^4 = 81.
我们需要多少个前导数字？
如果我们只使用25：
25^(1/2) = 5，而5^(1/2) = 2.236
这不够精确，因为我们忽略了太多信息。
如果我们使用25.6：
25.6^(1/2) ≈5.06（此处更多位数有助于精确计算）
5.06^(1/2) ≈2.249
该值接近正确答案（约2.250），但根据舍入规则仍略有偏差。
更精确的处理方式是使用25.62：
25.62¹/² ≈5.062
5.062¹/² ≈2.250
实用要点（你真正需要的内容）
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该数字的前4位数字（25.62…作为前缀部分），
计算第一个平方根，精确到约4位小数。
计算第二个平方根，保留约4位有效数字。
第四根源——示例三（专家级）
44449882998507^(1/4) × 100
这里我们再次遇到一个14位数的数字，但乘以100后所需保留的有效位数增加了。现在我们需要保留六个有效位。正确答案是：
258207
切分成4位数块：
44 | 4498 | 8299 | 8507
如果我们仅采用早期的“最小精度”方法，则得到：
44.44^(1/2) ≈ 6.666
6.666^(1/2) ≈ 2.58186
这很接近，但还不够——因为后续的数字很重要（特别是数字后面的“98”）。
更好的选择是使用44.450：
44.450^(1/2) ≈ 6.6671
6.6671¹/² ≈ 2.58207
现在我们匹配正确的数字。
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该号码的前5位数字，
计算第一个平方根，精确到约5位小数。
计算第二个平方根，精确到约6位。
第八根源
对于8次方根，我们利用以下事实：
1/8 = (1/2)(1/2)(1/2)
因此我们需要开三次平方根。
第八根源——示例 #1（简单难度）
2493261732392^(1/8)
分割为8位数字块：
24932 | 61732392
对于9位到16位之间的任意数字，其8次根的整数部分均为两位数。
现在使用前导块应用三个平方根：
24932¹/² ≈158
158½ ≈13
13½ ≈3.6
这表明答案约为3.6，而由于正确答案是两位数，因此对应的数值约为36。
如果我们更精确地计算中间步骤：
158½ ≈12.6
12.6^(1/2) ≈3.55
所以答案大约是35，正确答案是35。
你也可以提前进行四舍五入：
24932 ≈ 25000
25000^(1/2) ≈ 158.1 ≈ 160
160¹/² ≈ 12.65 ≈ 12.6
12.6^(1/2) ≈ 3.55 →35
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该数字的前两位数字，
计算第一个平方根，保留两位小数。
计算第二个平方根，保留3位小数。
计算第三个平方根，保留两位小数。
可选的“功率边界”检查
我们还注意到：
3^8 < 24932 < 4^8
3^8 = ((3^2)^2)^2 = 81^2 = 6561
4^8 = ((4^2)^2)^2 = 256^2 = 65536
因此答案必须介于30到40之间，而35这个数字非常合理。
第八根源——示例 #2（高级水平）
7961721564417^(1/8) × 10
分割为8位数字块：
79617 | 21564417
由于乘以10，现在需要保留三位有效数字。
快速运行，使用略微四舍五入的数值：
80000^(1/2) ≈280
280¹/² ≈16.7
16.7¹/² ≈4.09
正确答案是410（因此在缩放解释中为4.10×10^2）。
我们只需要在第一个平方根中再增加一位数字：
80000^(1/2) ≈283
283½ ≈16.8
16.8^(1/2) ≈4.10
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该数字的前两位数字，
计算第一个平方根，保留3位小数。
计算第二个平方根，保留3位小数。
计算第三次方根，保留3位小数。
第八根源——示例 #3（专家级）
38294827023^(1/8) × 100
块：
382 | 94827023
现在我们需要保留四位有效数字。
采用相同的“最小化处理”方法：
380¹/² ≈19.5
19.5^(1/2) ≈4.42
4.42^(1/2) ≈2.102
正确答案是2.103（乘以100后在标度解释中得到210.3），因此这个结果已经非常接近了。
为稳定第四位数字，请稍作扩展第一步：
382½ ≈19.54
19.545¹/² ≈4.421
4.421^(1/2) ≈2.103
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该号码的前3至4位数字，
计算第一个平方根，精确到4-5位小数。
计算第二个平方根，保留4位小数。
计算第三个平方根，保留4位小数。
第六根源
对于六次根，我们使用：
1/6 = (1/2)(1/3)
因此我们将平方根与立方根结合，顺序可调。
第六根源——示例 #1（简单难度）
782069951488^(1/6)
切分成6位数块：
782069 | 951488
这里只需保留两位有效数字。
一个快速锚点事实：
9^6 = 531441
（可通过观察9^3 = 729快速估算，取729的平方约为530,000。）
由于782,069远高于531,441，答案显然超过90，且很可能在90分中段。
先开平方再开立方（简单难度允许粗略计算）
800000^(1/2) ≈890
890^(1/3) ≈9.6
先开立方根，再开平方根（同样有效）
800000^(1/3) ≈93
93½ ≈9.6
关键概念在于：当仅需保留两位有效数字时，许多极大的整数区间将共享相同的六次方根值。例如，在758,612,910, 511至807,539,696,082之间的所有十二位数，其六次方根值均会四舍五入为96（涵盖近490亿个整数）。
这与较小根的情况截然不同：第六根取整后为22的数值范围介于129,746,338与 168,425,239之间，该区间仅包含不到3900万个整数。
这很重要，因为它揭示了为何前导块和所需精度会对所需计算量产生重大影响。
第六根源——示例 #2（高级水平）
295765318037310^(1/6) × 10
现在我们需要求一个15位数的六次方根，精确到小数点后一位。
切分成6位数块：
295 | 765318 | 037310
尝试从简单级别开始的粗略方法：
300¹/² ≈ 17
17^(1/3) ≈ 2.571
不够精确。
其他订单：
300^(1/3) ≈ 6.7
6.7^(1/2) ≈ 2.588
更接近了，但仍然不够。
更准确地使用实际的第一个片段：
295½ ≈17.2
17.2^(1/3) ≈2.581（正确）
或者：
295¹/³ ≈6.66
6.66^(1/2) ≈2.581（此结果亦正确）
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该数字的前3位数字，
计算平方根或立方根，保留3位有效数字。
计算剩余的立方根或平方根，保留4位小数。
这些例子中存在一个普遍规律：中间结果所需的有效数字通常少于最终答案，但随着计算的推进，精度要求会逐渐提高。这正是尽可能优先计算立方根的优势所在：它允许在早期阶段进行更多舍入操作，且后续更严苛的步骤能利用"已知"数值而非未知数值。
第六根源——示例三（专家级）
26652307644715^(1/6) × 100 (正确答案：172.83)
现在我们需要计算一个14位数的六次方根，精确到0.01。
切分成6位数块：
26 | 652307 | 644715
尝试采用“先开平方再开立方”的方法，这样会更精确：
26.6¹/² ≈5.16
5.16^(1/3) ≈1.7280（近似值）
其他订单：
26.6^(1/3) ≈2.99
2.99^(1/2) ≈1.7292（不够精确）
现在稍微优化第一段内容：
26.65¹/² ≈5.162
5.162^(1/3) ≈1.7282
或者：
26.65^(1/3) ≈2.987
2.987^(1/2) ≈1.7283（此项匹配）
实用收获
要得到这个例子的正确答案，只需：
使用该号码的前4位数字，
计算平方根或立方根，保留4位小数。
计算剩余的立方根或平方根，保留5位小数。
在此精度水平下，将立方根存储为四位有效数字，再计算出五位有效数字的平方根是相当困难的——这正是其被归为专家级难度的根本原因。即便对于六次根，一旦精度要求足够高，直接计算技术的重要性便会超越"粗略"估算。
第五根源
第五根系属于主要深根系，通常需要满足以下任一条件：
对数，或
精化方法（线性化修正/牛顿法/哈雷法）
第五根源——示例 #1（简单难度）
88704604192282^(1/5)
此例要求保留三位有效数字。
切分成5位数块：
8870 | 46041 | 92282
由于五次根难以直接计算，部分参赛者更倾向于使用对数法（参见十进制/非整数幂与根号章节）。对多数人而言，除非数字非常"友好"，否则这将是最高效的解法。
然而，在此我们概述了优化。
首先，我们需要一些小型的第五次方里程碑：
6的5次方等于7776
7的5次方等于16807
由于8870介于7776和16807之间，其首位数字介于6和7之间。
线性插值（非常粗略）
差异：
7的5次方减去6的5次方等于16807减去7776等于9031
职位：
(8870 − 7776) / 9031 = 1094 / 9031 ≈ 0.12
因此粗略估计是：
6.12… → 解释为缩放后的数值612（因为分块表示答案为三位数）
由于x⁵的斜率呈上升趋势，这种插值往往会导致低估。对于计算联盟的用途（五次尝试），通常足以让你进入正确的邻域范围。
线性化功率校正
这在无需完整牛顿法计算的情况下提高了精度。
计算相对误差：
(8870 − 7776) / 7776 = 1094 / 7776 ≈ 0.14
将此值记为y。
使用五次根修正调整估计值：
乘以(1 + y/5)
所以：
y/5 ≈ 0.028
1 + y/5 ≈ 1.028
600 × 1.028 =616.8
这样更好，但仍可能无法在所有情况下都可靠地生成完整的三位有效数字。
牛顿精化法（一次迭代，仍使用估计值）
我们现在优化比例因子。
使用二项式原理计算 (1.028)^2：
(1 + 0.028)² ≈ 1 + 2(0.028) + (0.028)²
≈ 1 + 0.056 + 0.001 ≈ 1.057
再次平方（以近似四次幂效应）：
(1.057)² ≈ 1 + 2(0.057) + (0.057)²
≈ 1 + 0.114 + 0.003 ≈ 1.117
调整如下：
1.14 / 1.117 ≈ 1.02
从1.028移动五分之一的路程至1.020：
1.0264
乘以600：
600 × 1.0264 =615.864
现在我们有三个有效数字。
第五根源——示例 #2（高级水平）
78010745^(1/5) × 100
高级水平将有效数字要求从三位提高到四位。
块：
780 | 10745
我们知道：
3^5 = 243 < 780 < 4^5 = 1024
线性插值法表明基数约为3.7。
估算 3.7^5（粗略但可行）
我们可以做到：
3.7² ≈ 13.69 → 取 13.7
13.7² ≈ 187.7 → 取 188
188 × 3.7 ≈695（注：四舍五入的选择会影响该数值略高或略低）
哈雷增量
哈雷对五次根的增量可表示为：
A × (N − A⁵) / (3A⁵ + 2N)
这里：
A = 3.7
N = 780
A⁵ ≈ 695
计算：
分子：780 − 695 = 85
分母：3(695) + 2(780) = 2085 + 1560 = 3645
增量：3.7 × 85 / 3645 ≈ 0.086
因此，精确估计值为：
3.7 + 0.086 =3.786
若将A^5稍作改进（例如693或694），则得到：
694 → 递增量 ≈ 0.087 → 3.787
693 → 递增量 ≈ 0.088 → 3.788
而3.788是正确的四位数估计值。
第五根源——示例三（专家级）
120682^(1/5) × 10^3
现在我们需要保留五位有效数字，但这些数字往往更配合。
块：
1 | 20682
我们知道：
1^5 < 1.20682 < 2^5
So the first digit is 1.
我们还可以看到第二个数字是0，因为：
1.1^5 已超过 1.20682（而 1.1^2 = 1.21 则会发出快速警告）
那么我们从1.03开始：
1.03² = 1.0609 → 取 1.061
1.061² ≈ 1.125721 → 使用 1.1257
1.1257 × 1.03 ≈ 1.1595（约等于 1.03^5）
现在应用哈雷增量（草案中使用的缩放形式）：
10.3 × (120682 − 115950) / (347850 + 241364)
计算碎片：
120682 − 115950 = 4732
347850 + 241364 = 589214
10.3 × 4732 ≈ 48740
48740 / 589214 ≈ 0.0827
因此，估计值为：
10.3 + 0.0827 =10.3827
该数值精确到小数点后五位。
关于除法步骤的说明：在48740 / 589214这类商除法中，只需保留你自认为足够的有效数字位数。根据具体情况，你可以略微调整分子/分母的精度，或根据先前近似值是低估还是高估来决定向上或向下取整。
第七根源
第七根系是另一类关键深层根系，通常需要进行估算与优化。
第七根源——示例 #1（简单难度）
446634503003^(1/7)
简单级别仅需保留两位有效数字。
分割为7位数块：
44663 | 4503003
我们知道：
4^7 = 16384 < 44663 < 5^7 = 78125
对于两个有效数字且尝试五次的情况，快速方法是线性插值：
(44663 − 16384) / (78125 − 16384)
这表明数值约为44.6，因此合理的首次提交值为45，如有必要可进行后续猜测。
第一步牛顿修正（示意图）
若我们从猜测A开始，牛顿增量为：
(N − A⁷) / (7A⁶)
使用 A = 50：
分子：44663 − 78125 = −33462
分母：7 × 50^6 = 7 × 15625 = 109375
增量 ≈ −0.305
修订后的估计值≈49.695→这在此处并不理想，因为真实值接近中点，且误差行为不友好。
哈雷精炼法（示意图）
哈雷对七次根的改进（如本文所述）如下：
((N − A⁷) / (3A⁷ + 4N)) × A
使用 A = 5（如草案所设定）：
((44663 − 78125) / (234375 + 178652)) × 5
(-33462 / 413027) × 5
≈ −0.4 × 5?（粗略数量级）
这支持大约46的答案。
第七根源——示例 #2（高级水平）
63122223304^(1/7)
即使在高级水平，我们仍然只需要保留两位有效数字。
块：
6312 | 2223304
我们知道：
3^7 = 2187 < 6312 < 4^7 = 16384
当计算困难的根值仅需保留两位有效数字时，通常更倾向于采用估算方法。
哈雷精炼法，A=3：
((6312 − 2187) / (6561 + 25248)) × 3
(4125 / 31809) × 3
≈ 0.389 × 3 ≈ 1.17
这指向 3 + 1.17 ≈ 4.17 → 被解释为41.7，但正确答案是34.90，表明当 A 值较小时该方法可能产生多大的误差。
哈雷精炼法，A=4：
((6312 − 16384) / (49152 + 25248)) × 4
(-10072 / 74400) × 4
≈ −0.542 × 4 ≈ −2.17
这指向 4 − 2.17 ≈ 1.83 → 解释为18.3，同样不稳定。
这说明了一个实用要点：当计算涉及更大、更稳定的量时，精确化方法（牛顿法/哈雷法/对数式估计）往往表现更佳。当真实解位于中点附近而猜测的幂次相差甚远时，选择高估值并向下修正往往更为有效。
第七根源——示例 #3（专家级）
3397123818961^(1/7) × 10
现在我们需要保留三位有效数字。
块：
339712 | 3818961
我们知道：
6^7 = 279936 < 339712 < 7^7 = 823543
应用哈雷精化算法，参数A设为6（如草案所述）：
((339712 − 279936) / (839808 + 1358848)) × 6
(59776 / 2198656) × 6
358656 / 2198656 ≈ 0.163
因此估计值变为：6.163 → 被解释为616.3，而正确答案应为616.8
这已经相当接近了，但要可靠地心算出三位有效数字，通常至少需要具备以下条件之一：
时间与毅力
铭记的里程碑
计算两位数7次方（或近似计算）的能力
对优化方向和错误方向的强烈直觉