正方形与立方体
计算联盟设有两个仅涉及指数运算的复杂类别：
立方体/正方形类别：指数仅限于^2和^3。
指数类别：指数范围从^2到^9。
在计算联盟第三赛季中，季后赛阶段的"指数"类别是整个竞赛中最难的类别。我们将进行进一步调整以降低难度，同时仍保留该类别的核心目的。
关于指数类别的后续修订事宜，将在进一步确定修订方案后另行发布公告。
示例1：35的3次方（简单级别）
我们的第一个例子只是将一个两位数立方。
将一个数平方时，常用的方法之一是认识到：
(35 − 5) × (35 + 5) + 5² = 35²
这是恒等式的实例：
(x − y)(x + y) + y² = x²
对于末位为5的数字，此规则的应用变得极其简单：
所有末位为5的数字的平方都以25结尾。
前面的数字是a × (a + 1)。
所以：
35² = 3 × 4 = 12，追加25 →1225
现在我们乘以35进行立方运算：
35³ = 35 × 35² = 1225 × 35
1225 × 35 = 1225 × (30 + 5) = 36750 + 6125 =42875
答案：42875
例2：（8.7）²（简单级别）
现在我们得到一个两位数的平方，这本质上就是一个2×2的乘法（经过缩放后）。
先计算 87 的平方：
87² = (90 × 84) + 3² = 7560 + 9 =7569
由于我们实际计算的是8.7的平方而非87的平方，因此需除以10²：
(8.7)² = 7569 / 100 =75.69
因此答案是75.69（若四舍五入至最接近的整数，则为76）。
示例 3：354348^2（高级水平）
现在我们得到一个六位数的平方。对整个数使用代数捷径会很困难。最有效的方法很可能是将其视为6×6的乘法，采用你惯用的乘法策略。
话虽如此，这个数字的结构相当美观：354和 348。我们可以利用这种特性，采用三位数分组法。
步骤1：计算关键的三位数平方/乘积
我们从一个近在咫尺的参照物开始：
350² = 122500（如前所述）
我们可以从351²开始构建：
351² = 350² + (2×350×1) + 1²
351² = 122500 + 700 + 1 =123201
现在调整为354和348。
对于354^2：比较354与351（差值+3）
(351 + 3)² = 351² + 2×351×3 + 3²
2×351×3 = 2106，加上9 → 2115
354² = 123201 + 2115 =125316
对于348^2：比较348与351（差值为−3）
(351 − 3)² = 351² − 2×351×3 + 3²
351² − 2106 + 9 = 123201 − 2097 =121104
对于348×354：注意351处的对称性：
(351 − 3)(351 + 3) = 351² − 3² = 123201 − 9 =123192
步骤2：使用三位数块进行交叉相乘
将354348视为354|348。
然后：
354348² = (354×1000 + 348)²
= (354²×10⁶ + 2×(354×348)×10³ + (348²)
将计算出的片段插入：
354² × 10⁶ = 125316000000
2×(354×348)×10^3 = 2×123192×1000 = 246384000
348的平方等于121104
现在添加：
125316000000
+000246384000
+000000121104
=125562505104
答案：125562505104
例4：（93.5）³（进阶水平）
现在我们得到了一个三位数的立方（经过缩放后）。
一个有用的第一步是使用“以5结尾”的快捷法将935化为平方数：
935^2 → 93 × 94 并附加25
93 × 94 = 8742
因此 935^2 =874225
但我们处理的是93.5，而非935，因此：
(93.5)² = 874225 / 10² =8742.25
现在我们进行立方运算：
(93.5)³ = 8742.25 × 93.5
思考×93.5的一种可行方式是：
×93 + ×0.5
步骤1：8742 × 93
首先计算 87 × 93：
87 × 93 比 90² 少 9（因为 87×93 = (90−3)(90+3) = 8100 − 9）
所以 87×93 =8091
然后缩放：
8700 × 93 = 809100
42 × 93 = 3906
809100 + 3906 =813006
步骤2：添加“半”和十进制调整
我们需要添加 (8742/2)、(93/4) 和 (1/8)。这对应于来自 93.5 中 0.5和 8742.25 中 0.25的额外贡献。
计算：
8742 ÷ 2 = 4371
93 ÷ 4 = 23.25
1 / 8 = 0.125
总计：4371 + 23.25 + 0.125 =4394.375
当前总计：
813006 + 4394.375 =817400.375
在计算联盟中，如果我们只需要最接近的整数：
817400就足够了。
示例 5： (4559936)²（专家级）
这是某个七位数的平方。默认方法是将其视为7×7的乘法，使用交叉乘法或标准乘法（如果你非常熟练的话）。
但我们也可以通过选择一个方便的邻近基数来应用二项式定理来求解(x + y)^2。
设：
x = 4,560,000
y = −64
然后：
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
步骤1：x^2
x = 456 × 10^4，因此：
x² = (456²) × 10⁸
计算 456 的平方：
456² = (500×412) + 44²
500×412 = 206000
44的平方等于1936
456的平方等于207936
所以：
x² = 207936 × 10⁸ =20793600000000
步骤2：2xy
2xy = 2×(4,560,000)×(−64) = −(2×64×4,560,000)
注：64 = 2^6，因此 2×64 = 2^7 = 128。
因此我们需要456 × 128，然后按10^4倍缩放：
将456乘以7次：
456 → 912 → 1824 → 3648 → 7296 → 14592 → 29184 → 58368
所以：
456×128 = 58368
因此 4,560,000×128 = 58368×10^4 =583680000
由于 y 为负值，因此中间项为−583,680,000。
步骤3：y^2
y² = (−64)² = 64² =4096
组合术语
所以：
(4,559,936)² = 20793600000000 − 583680000 + 4096
= 20793600000000 − 583675904
= 20793016324096
答案：20793016324096
要快速完成此运算，你需要熟练运用分段减法技巧——例如先写下x²项的首位数字，再干净利落地减去9位数的中心调整项。
示例 6：17.7²（专家级）
在这个最后的例子中，问题生成过程显得格外友好。将三位数平方（或进行3×3乘法运算）的方法多种多样。以下几种方法最终都得出相同的平方结果：
方法A：对称乘积 + 添加回
(177 − 77)(177 + 77) + 77^2
= 100×254 + 5929
= 25400 + 5929 =31329
方法B：另一种对称选择
(177 + 23)(177 − 23) + 23²
= 200×154 + 529
= 30800 + 529 =31329
方法C：二项式定理
(170 + 7)² = 170² + 2×170×7 + 7²
= 28900 + 2380 + 49 =31329
方法D：交替二项式方向
(180 − 3)^2 = 180^2 − 2×180×3 + 3^2
= 32400 − 1080 + 9 =31329
方法E：因式分解捷径
177² = (59²)(3²) = 3481×9 =31329
现在将小数点后移一位（因为17.7 = 177/10）：
17.7² = 31329 / 100 =313.29
答案：313.29