2016年MCWC

2016年心算世界杯是该赛事的第七届。李正熙（韩国） 在意外题项目中夺得总冠军（总排名第三）。木村祐希（日本）摘得总冠军桂冠，小野哲也（日本）获得总亚军。

温泽尔·格鲁 斯总排名第五（在突发任务中位列第六）。弗雷迪斯· 雷耶斯位列 第八，苏丹舒·巴蒂亚位列 第十五，丹尼尔·蒂姆斯位列 第十六。

惊喜任务分类（2016）

2016年MCWC惊喜任务类别包含以下五种任务类型：

• (A × B) − (C × D)，
  ，其中A和D是三位数，B和C是两位数。

• 中等几何图形面积计算，
  ，计算至尽可能多的有效数字（π值已给定）

• 一个5×5的乘法题，其中给出了答案，参赛者需要找出第一个数字的中间位数字。

• 求解方程x^3 − 5x^2 = 2016，
  ，结果保留尽可能多的有效数字。

• 包含2至6次幂的乘除运算混合计算，
  ，答案始终为整数 。

挑战任务

2016年的挑战任务是：

• 2016^(1/4) − 2016^(1/6) + 2016^(1/7)

答案应计算至尽可能多的有效数字位。

计算联盟报道笔记

截至本文撰写之时，2016年MCWC的 计算联盟类别包含：

• 挑战任务，

• 第一个惊喜任务，以及

• 两个不同版本的最终惊喜任务。

其他版本的最终惊喜任务可能会在后期添加。

示例1

(845² × 93³) / 195²

(简单级别)

尽管这个问题可能来自“简单”类别，但它并不简单，要在30秒的时限内解决需要相当丰富的经验。

我将从将93切成立方体开始。

计算 93 的三次方

我们可以直接计算：

• 93² = (93 + 7)(93 − 7) + 7²

• 100 × 86 + 49 =8649

现在相乘：

• 8649 × 93 =804357

或者，我们可以使用二项式定理：

• 90³ + 3·90²·3 + 3·90·3² + 3³

• 729000 + 72900 + 2430 + 27 =804357

减少 (845 / 195)²

现在我们必须处理：

• (845 / 195)²

直接计算804357 × (845 / 195)^2极其困难。我们应专注于因式分解与化简。在此情况下，数值生成具有优势：

• 845 ÷ 195 = 169 ÷ 39 =13 ÷ 3

此时，根据技能水平的不同，有几种可行的方法。

乘以 (13 / 3) 两次

一种方法是直接将804357乘以13/3两次。

这将涉及：

• 四倍增长 804357 →3217428,

• 804357 除以 3 →268119，

• 给予3485547。

我们随后必须重复该过程，将3485547乘以四，并加上3485547除以3的结果。

更高效的方法

更有效的方法是将804357乘以(169 / 9)。

我们立即可以看出804357能被9整除，因为其各位数字之和为27。

• 804357 ÷ 9 =89372

现在我们需要计算：

• 89372 × 169

通过先除后乘，我们执行：

• 一个6位数除以1位数的除法，以及

• 一个5×3的乘法运算。

如果我们按相反的顺序操作，则需要：

• 一个6×3的乘法运算，以及

• 一个9位数除以1位数的除法，这明显更难。

在竞赛环境中，当计算结果达到89372 × 169时，允许从右向左进行运算，执行5次1×1乘法，并逐位输入结果。

示例 2

5898^(1/4) − 5898^(1/6) + 5898^(1/7)

（高级水平）

若没有对数，这个问题将极其难以计算。

若需保留若干有效数字，使用对数可能更为合适，因为我们只需估算单一底数（5898）的对数，随后进行简单的除法运算。

对数估计

我们估计：

• log(5898) = 3 + log(5.898)

线性插值在1和2之间最不准确，因此我们估计：

• 3 + log(5) + (0.898 × (0.778 − 0.699))

• 3 + 0.699 + 0.071 ≈3.77

现在将3.77分别除以4、6和7：

• 3.769 / 4 →0.94225

• 3.769 / 6 →0.628125

• 3.769 / 7 →0.53843

插值回溯

使用参考值：

• log(9) → 0.954

• log(8) → 0.903

• log(5) → 0.699

• log(4) → 0.602

• log(3) → 0.477

我们得出以下估计值：

• 5898^(1/4) →8.77

• 5898^(1/6) →4.27

• 5898^(1/7) →3.49

这得出：

• 8.77 − 4.27 + 3.49 →7.99

（正确答案是7.97。）

替代估计路径

另一种方法是从平方根开始。

• √5898 →76.7984

然后：

• √76.7984 →8.76

• ∛76.798 →4.25

若将7次方根估算为4.25与√8.76（≈2.96）的中间值，则得出3.6。

这导致估计答案为8.1。

然而，5898的7次方根更接近8次方根而非6次方根，因此取中点会略微低估该值。通过向下调整，我们可以获得更多有效数字。

示例 3

(87 × 54)² / 4⁶

(专家级)

将这个表达式重新组织更有助于理解：

• (87 × 54)² / (4³)²

• (87 × 54)² / 64²

• (4698 / 64)²

计算平方

我们从除法开始：

• 4698 ÷ 64 =73.4（或73.406）

现在我们可以将这个值平方。

如果我们直接将73.4平方：

• (734 + 34)(734 − 34) + 34²

• 538756

将小数点向左移动两位得到：

• 5388，这是正确的。

更高精度选项

若需要更多有效数字，我们可以使用(a + b)²的展开式：

• 70² + 2·70·3.406 + 3.406²

• 4900 + 476.84 + 11.6 →5388.44

该值在0.03范围内是正确的。