基本多操作示例
多操作：示例1
请考虑以下问题：
(48 × 4 × 61 × 70 × 61) / (30 × 66 × 23 × 65)
试图对整个分子乘以整个分母再进行除法运算效率低下。目标在于通过化简、重组和"平衡比例"，使运算变得简单可控。
基本原则
消除明显的公因数（特别是10、5、2、3）。
重新排列数字，使其配对形成整洁的比例。
通过取消相近数值（如64与65，或65与66）来借位，最后根据需要进行修正。
步骤1：明显因素（10和5）
左侧70与右侧30简化为7与3。
如有可能，去除剩余的3会很有用：48 / 3 = 16。
现在表达式变为：
(16 × 4 × 61 × 7 × 61) / (66 × 23 × 65)
步骤2：比率平衡/借款
16 × 4 =64。
64与65和66都极为接近，因此它可以与任一分母项配对：
选项（示例）：将64与66配对，将比率视为约64/66，若需更高精度则记录修正值。
在应用配对/取消方案后，剩余的“核心”计算本质上是：
(61 × 7 × 61) / (23 × 65)
现在计算主广场：
61² = (60 + 1)² = 3600 + 120 + 1 =3721
因此剩余的结构是：
(3721 × 7) / (23 × 65)
由此，原始笔记中的估计方法是：
对之前的“借用”（已移除的近似比率）进行修正，然后进行近似计算：
67 × 23 =1541
3721 / 1541 ≈2.4
2.4 × 7 ≈16.8
另一项更精细的观察（同样出自原文）：
由于7/1541约等于1/220，因此3721/220约等于16.9。
核心要点：只有在完成以下步骤后，问题才能变得可控：(1) 剔除10/5的结构，(2) 完整消去3，(3) 配对近似相等的项，(4) 快速计算核心平方项61²。
多操作：示例2
(99 × 90 × 57 × 12 × 23) / (75 × 26 × 11 × 70)
第一步：明显因素 + 简单因素
99/11 简化为9/1
90/70 简化为9/7
因此表达式变为：
(9 × 9 × 57 × 12 × 23) / (75 × 26 × 7)
在此阶段，进行一次额外的简化是值得的，因为它能清理剩余的算术运算：
从75个数字中抽取3个（75 = 3 × 25）
从26个选项中抽取2个（26 = 2 × 13）
利用这些因素来缩小分子中的12
这得出：
(9 × 9 × 57 × 2 × 23) / (25 × 13 × 7)
步骤2：比率平衡/借款
现在使用“友好操作”：
除以25等于乘以4，同时小数点后移两位。
57 × 2 = 114
114 × 4 = 456
向右移两位 →4.56
因此该表达式实际上是：
(9² × 4.56 × 23) / (7 × 13)
计算剩余比率：
9的平方等于81
7 × 13 =91
81/91 接近8/9
所以：
(8/9) × 4.56 在 4.05 和 4.06 之间
然后乘以23：
23 × 4.05 ≈93.2
（这与正确答案约为93.3的注释相符。）
核心要点：经过简化后，整个问题可归结为“一次25的整除”加上“一个接近1的比值”再进行最终乘法运算。
多操作：示例3
(26 × 5 × 96 × 18 × 33) / (32 × 86 × 19 × 91)
步骤1：取消共享结构（“13s”）
注：26 = 13 × 2，91 = 13 × 7。合并13：
(2 × 5 × 96 × 18 × 33) / (32 × 86 × 19 × 7)
步骤2：将接近1的比率保存以备后用
分子中的(33, 18)与分母中的(32, 19)之所以被选中，是因为它们的乘积比值接近1。
因此将表达式分为两部分：
A部分：
（2 × 5 × 96） / (86 × 7)
B部分：
（33 × 18） / (32 × 19)
计算部分A：
2 × 5 × 96 =960
86 × 7 =602
960/602 ≈1.6
（如有需要，可通过乘以150/151进行修正）
现在估算B部分：
原始笔记将重写描述为“1减去一小部分”，具体而言：
(33 × 18) / (32 × 19) = 1 − (14/608)
然后需修正A部分采用960/602而非960/600进行近似计算的事实：
该修正反映为从14/608调整至约14/610。
最后：
610/14略多于40。
1.6/40 ≈ 0.04（略小于）
1.6 − 0.04 ≈1.56，答案应略小于1.56。
代数笔记（内容相同，已整理）
当术语采用“平方差”形式时，所使用的概念性标识如下：
(a − b)(a + b) = a² − b²
若分子与分母均具有该结构，该比值通常可重写为：
1 − (b² − c²) / (a² − c²)
然后再次因式分解：
1 − (b − c)(b + c) / (a − c)(a + c)
核心要点：当产品比值接近1时，将其改写为"1减去微小修正值"，可将复杂的除法运算转化为简单的微调操作。